次の3つの関数について、n次導関数を求めよ。 (1) $x \sin x$ (2) $x e^{3x}$ (3) $x^3 a^x$ (ただし、$a>0$, $a \neq 1$とする。)

1. 問題の内容

次の3つの関数について、n次導関数を求めよ。

(1) $x \sin x$

(2) $x e^{3x}$

(3) $x^3 a^x$ (ただし、$a>0$, $a \neq 1$とする。)

2. 解き方の手順

(1) $x \sin x$ のn次導関数

まず、積の微分公式を用いる。 $(uv)' = u'v + uv'$

$y = x \sin x$ とする。

1階導関数: $y' = \sin x + x \cos x$

2階導関数: $y'' = \cos x + \cos x - x \sin x = 2\cos x - x \sin x$

3階導関数: $y''' = -2\sin x - \sin x - x \cos x = -3\sin x - x \cos x$

4階導関数: $y^{(4)} = -3\cos x - \cos x + x \sin x = -4\cos x + x \sin x$

一般化すると、ライプニッツの公式を用いると、

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

$u = x$, $v = \sin x$ とすると、

$u' = 1$, $u'' = 0$

$v^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

したがって、

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1} 1 \cdot \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$y^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$y^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

(2) $x e^{3x}$ のn次導関数

$y = x e^{3x}$ とする。

ライプニッツの公式を用いる。

$u = x$, $v = e^{3x}$ とすると、

$u' = 1$, $u'' = 0$

$v^{(n)} = 3^n e^{3x}$

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x (3^n e^{3x}) + \binom{n}{1} 1 (3^{n-1} e^{3x})$

$y^{(n)} = x 3^n e^{3x} + n 3^{n-1} e^{3x}$

$y^{(n)} = 3^{n-1} e^{3x} (3x + n)$

(3) $x^3 a^x$ のn次導関数

$y = x^3 a^x$ とする。

ライプニッツの公式を用いる。

$u = x^3$, $v = a^x$ とすると、

$u' = 3x^2$, $u'' = 6x$, $u''' = 6$, $u^{(4)} = 0$

$v^{(n)} = (\ln a)^n a^x$

$y^{(n)} = \binom{n}{0} x^3 (\ln a)^n a^x + \binom{n}{1} 3x^2 (\ln a)^{n-1} a^x + \binom{n}{2} 6x (\ln a)^{n-2} a^x + \binom{n}{3} 6 (\ln a)^{n-3} a^x$

$y^{(n)} = a^x \left[ x^3 (\ln a)^n + 3n x^2 (\ln a)^{n-1} + 3n(n-1) x (\ln a)^{n-2} + n(n-1)(n-2) (\ln a)^{n-3} \right]$

3. 最終的な答え

(1) $y^{(n)} = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

(2) $y^{(n)} = 3^{n-1} e^{3x} (3x + n)$

(3) $y^{(n)} = a^x \left[ x^3 (\ln a)^n + 3n x^2 (\ln a)^{n-1} + 3n(n-1) x (\ln a)^{n-2} + n(n-1)(n-2) (\ln a)^{n-3} \right]$