与えられた3つの関数に対して、それぞれのn次導関数を求める問題です。 (1) $e^x \cos x$ (2) $\frac{1}{x^2-1}$ (3) $\cos 5x \cos 2x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数に対して、それぞれのn次導関数を求める問題です。

(1) $e^x \cos x$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$

(3) $\cos 5x \cos 2x$

2. 解き方の手順

(1) $e^x \cos x$ のn次導関数

$y = e^x \cos x$ とすると、

$y' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x (\cos x - \sin x)$

$y'' = e^x (\cos x - \sin x) + e^x (-\sin x - \cos x) = -2 e^x \sin x$

$y''' = -2 e^x \sin x - 2 e^x \cos x = -2 e^x (\sin x + \cos x)$

$y^{(4)} = -2 e^x (\sin x + \cos x) - 2 e^x (\cos x - \sin x) = -4 e^x \cos x$

$y^{(n)} = e^x (\cos x \cos(\frac{n\pi}{4}) - \sin x \sin(\frac{n\pi}{4})) = e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$

または

$y^{(n)} = (\sqrt{2})^n e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$ のn次導関数

$\frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$y = \frac{1}{2} (\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1})$

$y' = \frac{1}{2} (-\frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{(x+1)^2})$

$y'' = \frac{1}{2} (\frac{2}{(x-1)^3} - \frac{2}{(x+1)^3})$

$y^{(n)} = \frac{1}{2} ((-1)^n n! (x-1)^{-n-1} - (-1)^n n! (x+1)^{-n-1})$

$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

(3) $\cos 5x \cos 2x$ のn次導関数

$\cos 5x \cos 2x = \frac{1}{2} (\cos (5x+2x) + \cos(5x-2x)) = \frac{1}{2} (\cos 7x + \cos 3x)$

$y = \frac{1}{2} (\cos 7x + \cos 3x)$

$y' = \frac{1}{2} (-7 \sin 7x - 3 \sin 3x)$

$y'' = \frac{1}{2} (-7^2 \cos 7x - 3^2 \cos 3x)$

$y^{(n)} = \frac{1}{2} (7^n \cos (7x + \frac{n\pi}{2}) + 3^n \cos (3x + \frac{n\pi}{2}))$

3. 最終的な答え

(1) $e^x \cos x$ のn次導関数: $(\sqrt{2})^n e^x \cos(x + \frac{n\pi}{4})$

(2) $\frac{1}{x^2-1}$ のn次導関数: $\frac{(-1)^n n!}{2} (\frac{1}{(x-1)^{n+1}} - \frac{1}{(x+1)^{n+1}})$

(3) $\cos 5x \cos 2x$ のn次導関数: $\frac{1}{2} (7^n \cos (7x + \frac{n\pi}{2}) + 3^n \cos (3x + \frac{n\pi}{2}))$