不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を満たす $x$ の値の範囲を $0 \le x < 2\pi$ で求めよ。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{\sin^2 x + \frac{1}{2}} < \cos x$ を満たす $x$ の値の範囲を $0 \le x < 2\pi$ で求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺が正である必要があるので、$\cos x > 0$ であることが必要です。

次に、不等式の両辺を2乗します。

$$\sin^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$$

ここで、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入します。

$$1 - \cos^2 x + \frac{1}{2} < \cos^2 x$$

$$\frac{3}{2} < 2\cos^2 x$$

$$\cos^2 x > \frac{3}{4}$$

したがって、

$$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{または} \quad \cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は $0 \le x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ です。

また、$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $\cos x < -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲は $\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ です。

しかし、$\cos x > 0$ でなければならないので、$\frac{5\pi}{6} < x < \frac{7\pi}{6}$ の範囲は条件を満たしません。

したがって、$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $x$ の範囲のみを考えればよいです。

よって、$0 \le x < \frac{\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$ が求める範囲です。

3. 最終的な答え

$0 \le x < \frac{\pi}{6}$, $\frac{11\pi}{6} < x < 2\pi$