問題は2つあります。 (1) $\tan(-\frac{19}{6}\pi)$ を、$0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下の角の三角関数で表し、その値を求めよ。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $0 < \tan \theta \le 1$ を解け。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\tan(-\frac{19}{6}\pi)$ を、$0$ 以上 $\frac{\pi}{2}$ 以下の角の三角関数で表し、その値を求めよ。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $0 < \tan \theta \le 1$ を解け。

2. 解き方の手順

(1) $\tan(-\frac{19}{6}\pi)$ について考えます。

まず、$\tan(-x) = -\tan(x)$ であることを利用します。

$\tan(-\frac{19}{6}\pi) = - \tan(\frac{19}{6}\pi)$

次に、$\frac{19}{6}\pi$ を $2\pi$ で割った余りを求めます。

$\frac{19}{6}\pi = (3 + \frac{1}{6})\pi = 3\pi + \frac{\pi}{6} = 2\pi + \pi + \frac{\pi}{6}$

$\tan(2\pi + \theta) = \tan(\theta)$ であることを利用すると、

$- \tan(\frac{19}{6}\pi) = - \tan(\pi + \frac{\pi}{6})$

$\tan(\pi + \theta) = \tan(\theta)$ であることを利用すると、

$- \tan(\pi + \frac{\pi}{6}) = - \tan(\frac{\pi}{6})$

$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ なので、

$- \tan(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ において、$0 < \tan \theta \le 1$ を満たす$\theta$の範囲を求めます。

$\tan \theta > 0$ となるのは、第1象限と第3象限です。

$\tan \theta \le 1$ となるのは、$\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき$\tan \theta = 1$となることを考えると、

第1象限では $0 < \theta \le \frac{\pi}{4}$

第3象限では $\pi < \theta \le \frac{5}{4}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\tan(-\frac{19}{6}\pi) = -\tan(\frac{1}{6}\pi) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $0 < \theta \le \frac{1}{4}\pi$ または $\pi < \theta \le \frac{5}{4}\pi$