問題1は、関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $n$ 階導関数を求める問題です。 問題2は、関数 $h(x) = x \sin x$ の $n$ 階導関数をライプニッツの公式を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

問題1は、関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $n$ 階導関数を求める問題です。

問題2は、関数 $h(x) = x \sin x$ の $n$ 階導関数をライプニッツの公式を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1：関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $n$ 階導関数を求める。

まず、$f(x)$ を $x^{-1}$ と書き換えます。

1階微分：$f'(x) = -1 x^{-2} = (-1)^1 \cdot 1! \cdot x^{-2}$

2階微分：$f''(x) = 2 x^{-3} = (-1)^2 \cdot 2! \cdot x^{-3}$

3階微分：$f'''(x) = -6 x^{-4} = (-1)^3 \cdot 3! \cdot x^{-4}$

一般に、$n$ 階微分は次のようになります。

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! x^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$

問題2：関数 $h(x) = x \sin x$ の $n$ 階導関数をライプニッツの公式を用いて求める。

ライプニッツの公式は以下の通りです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$u = x$、$v = \sin x$ とします。

$u' = 1$、$u'' = 0$、$u^{(k)} = 0$ for $k \ge 2$

$v = \sin x$、$v' = \cos x$、$v'' = -\sin x$、$v''' = -\cos x$、$v'''' = \sin x$

$v^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

ライプニッツの公式に代入すると、

$h^{(n)}(x) = \binom{n}{0} u^{(n)} v^{(0)} + \binom{n}{1} u^{(n-1)} v^{(1)} + \binom{n}{2} u^{(n-2)} v^{(2)} + ...$

$u = x$ なので、$n > 1$ のとき、$u^{(n)} = 0$ 。 また、$u' = 1$、$u'' = 0$。

よって、ライプニッツの公式は、

$h^{(n)}(x) = \binom{n}{0} x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1} 1 \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$h^{(n)}(x) = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$h^{(n)}(x) = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$

3. 最終的な答え

問題1：$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$

問題2：$h^{(n)}(x) = x \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2})$