次の不等式を解きます。 $\sin^2x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \geq 0 \quad (0 \leq x < 2\pi)$

はい、承知いたしました。画像にある3つの問題のうち、(3)の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$\sin^2x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \geq 0 \quad (0 \leq x < 2\pi)$

2. 解き方の手順

与えられた不等式は

$\sin^2x - \sin x + \sqrt{3} \sin x \cos x \geq 0$

$\sin x$でくくると

$\sin x (\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x) \geq 0$

したがって、次の2つの場合に分けて考えます。

(i) $\sin x \geq 0$ かつ $\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x \geq 0$

(ii) $\sin x \leq 0$ かつ $\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x \leq 0$

(i) $\sin x \geq 0$ のとき、 $0 \leq x \leq \pi$

$\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x \geq 0$ を変形すると

$\sin x + \sqrt{3} \cos x \geq 1$

左辺を合成すると

$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) \geq 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) \geq \frac{1}{2}$

$x+\frac{\pi}{3} = t$ とおくと、$\frac{\pi}{3} \leq t \leq \frac{4\pi}{3}$

$\sin t \geq \frac{1}{2}$ なので、$\frac{\pi}{6} \leq t \leq \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} \leq x + \frac{\pi}{3} \leq \frac{5\pi}{6}$

$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

$0 \leq x \leq \pi$と合わせて $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

(ii) $\sin x \leq 0$ のとき、$\pi \leq x < 2\pi$

$\sin x - 1 + \sqrt{3} \cos x \leq 0$ を変形すると

$\sin x + \sqrt{3} \cos x \leq 1$

左辺を合成すると

$2\sin(x + \frac{\pi}{3}) \leq 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) \leq \frac{1}{2}$

$x+\frac{\pi}{3} = t$ とおくと、$\frac{4\pi}{3} \leq t < \frac{7\pi}{3}$

$\sin t \leq \frac{1}{2}$ なので、$\frac{5\pi}{6} \leq t \leq \frac{13\pi}{6}$

$\frac{5\pi}{6} \leq x + \frac{\pi}{3} \leq \frac{13\pi}{6}$

$\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{11\pi}{6}$

$\pi \leq x < 2\pi$と合わせて $\pi \leq x \leq \frac{11\pi}{6}$

(i), (ii)より、

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \pi \leq x \leq \frac{11\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \pi \leq x \leq \frac{11\pi}{6}$