媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = 2(t - \sin t)$, $y = 2(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) の長さ $L$ を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x = 2(t - \sin t)$, $y = 2(1 - \cos t)$ ($0 \le t \le 2\pi$) の長さ $L$ を求めよ。

2. 解き方の手順

曲線の長さ $L$ は、次の式で求められます。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分します。

$\frac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = 2\sin t$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$ を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (2(1-\cos t))^2 + (2\sin t)^2 = 4(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 4\sin^2 t$

$= 4(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = 4(1 - 2\cos t + 1) = 4(2 - 2\cos t) = 8(1 - \cos t)$

ここで、半角の公式 $1 - \cos t = 2\sin^2(\frac{t}{2})$ を使います。

$8(1 - \cos t) = 8 \cdot 2 \sin^2(\frac{t}{2}) = 16 \sin^2(\frac{t}{2})$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{16\sin^2(\frac{t}{2})} = 4|\sin(\frac{t}{2})|$

$0 \le t \le 2\pi$ より、$0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ なので、$\sin(\frac{t}{2}) \ge 0$。よって、$|\sin(\frac{t}{2})| = \sin(\frac{t}{2})$。

$L = \int_{0}^{2\pi} 4\sin(\frac{t}{2}) dt = 4 \int_{0}^{2\pi} \sin(\frac{t}{2}) dt = 4 [-2\cos(\frac{t}{2})]_{0}^{2\pi} = -8[\cos(\frac{t}{2})]_{0}^{2\pi}$

$= -8(\cos(\pi) - \cos(0)) = -8(-1 - 1) = -8(-2) = 16$

3. 最終的な答え

$L = 16$