微分可能な関数 $f(x)$ の微分係数 $f'(1)$ として正しいものをすべて選択する問題です。

1. 問題の内容

微分可能な関数 $f(x)$ の微分係数 $f'(1)$ として正しいものをすべて選択する問題です。

2. 解き方の手順

微分係数の定義に基づいて各選択肢を検証します。

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

または

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

選択肢を順番に見ていきます。

- 1つ目の選択肢: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

これは $f'(0)$ の定義に似ていますが、$h$ の極限が $0$ に近づくことが指定されていないため、一般には $f'(1)$ とは一致しません。

- 2つ目の選択肢: $\frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

これは極限を取っていないので微分係数ではありません。

- 3つ目の選択肢: $\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) + f(1)}{h}$

これは微分係数の定義とは異なります。分母が $f(1+h) - f(1)$であるべきです。

- 4つ目の選択肢: $\frac{f(1+h) - f(1)}{h}$

これは極限を取っていないので微分係数ではありません。

- 5つ目の選択肢: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

これは極限を取っていないので微分係数ではありません。

- 6つ目の選択肢: $\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$

これは $f'(1)$ の定義そのものです。

- 7つ目の選択肢: $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$

これは $f'(1)$ の定義そのものです。

3. 最終的な答え

$\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h}$

$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1}$