与えられた文章の中から、正しいものをすべて選択する問題です。問題文は微分の可能性、極限、連続性に関する記述であり、これらの間の関係に関する理解を問うています。

1. 問題の内容

与えられた文章の中から、正しいものをすべて選択する問題です。問題文は微分の可能性、極限、連続性に関する記述であり、これらの間の関係に関する理解を問うています。

2. 解き方の手順

各選択肢について、それが正しいかどうかを検討します。

* 選択肢1: $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ である。

これは正しいです。関数が微分可能であるためには、その点で連続である必要があります。連続であれば、極限値と関数値は一致します。

* 選択肢2: $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ が存在すれば、$f(x)$ は $x=a$ で連続である。

これは正しいです。$\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ が存在するということは、$f(x)$が$x=a$で微分可能であるということです。微分可能であれば、連続です。

* 選択肢3: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ならば、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。

これは正しくありません。関数が連続であっても微分可能とは限りません。例えば、$f(x) = |x|$ は $x=0$ で連続ですが、微分可能ではありません。

* 選択肢4: $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ が存在すれば、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。

これは正しいです。この極限は、$f(x)$ の $x=a$ における微分係数の定義そのものです。この極限が存在すれば、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能です。

* 選択肢5: $f(x)$ が $x=a$ で連続ならば、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。

これは正しくありません。関数が連続であっても微分可能とは限りません。例えば、$f(x) = |x|$ は $x=0$ で連続ですが、微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

正しい文章は以下の通りです。

* $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ である。

* $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ が存在すれば、$f(x)$ は $x=a$ で連続である。

* $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ が存在すれば、$f(x)$ は $x=a$ で微分可能である。