関数 $f(x) = |x| \cos x$ が与えられたとき、$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ と $\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ の値を求め、関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判定する問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x| \cos x$ が与えられたとき、$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ と $\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ の値を求め、関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(0) = |0| \cos 0 = 0$ です。

次に、右側極限を計算します。$h > 0$ のとき、$|h| = h$ なので、

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\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{|h| \cos h - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h \cos h}{h} = \lim_{h \to +0} \cos h = \cos 0 = 1

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次に、左側極限を計算します。$h < 0$ のとき、$|h| = -h$ なので、

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\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{|h| \cos h - 0}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h \cos h}{h} = \lim_{h \to -0} -\cos h = -\cos 0 = -1

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右側極限と左側極限が一致しないため、$x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

$\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = 1$

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = -1$

$f(x) = |x| \cos x$ は $x=0$ で微分可能ではない。