$x = \sin y$ という関係が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す。

1. 問題の内容

$x = \sin y$ という関係が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin y$ の両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} x = \frac{d}{dx} (\sin y)$

左辺は $1$ になります。右辺は合成関数の微分を用いて計算します。

$1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$

ここで、$x = \sin y$ であることを利用して、$\cos y$ を $x$ で表します。三角関数の恒等式 $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$

$\cos^2 y = 1 - x^2$

$\cos y = \pm \sqrt{1 - x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\pm \sqrt{1 - x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

問題文に特に条件がないので、$y$ の範囲を限定することはできません。通常、$y$ の範囲を $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ とすると $\cos y \ge 0$ となるので、$\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$となります。しかし一般の場合、$\pm$ をつけておきます。

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \pm \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$