以下の3つの問題について、回転体の体積を求める問題です。 (1) 曲線 $y = \tan x$ と $x$ 軸および $x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれる部分を、$x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。 (2) $0 \leq x \leq 1$ において、曲線 $y = x^2$ と曲線 $y = \sqrt{x}$ で囲まれる部分を、$x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。 (3) 曲線 $y = e^x$ と $y$ 軸および $y = e$ で囲まれる部分を、$y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

以下の3つの問題について、回転体の体積を求める問題です。

(1) 曲線 $y = \tan x$ と $x$ 軸および $x = \frac{\pi}{4}$ で囲まれる部分を、$x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。

(2) $0 \leq x \leq 1$ において、曲線 $y = x^2$ と曲線 $y = \sqrt{x}$ で囲まれる部分を、$x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。

(3) 曲線 $y = e^x$ と $y$ 軸および $y = e$ で囲まれる部分を、$y$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$y = \tan x$ を $x$ 軸周りに回転させた体積を求める。

$x$ の積分範囲は $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ である。

体積 $V$ は、

$$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\tan x)^2 dx = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\sec^2 x - 1) dx = \pi [\tan x - x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \pi (1 - \frac{\pi}{4})$$

(2)

$y = \sqrt{x}$ と $y = x^2$ の交点は $x = 0$ と $x = 1$ である。$x$ の積分範囲は $0 \leq x \leq 1$ である。

$y = \sqrt{x}$ の回転体の体積から $y = x^2$ の回転体の体積を引く。

体積 $V$ は、

$$V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{x})^2 dx - \pi \int_{0}^{1} (x^2)^2 dx = \pi \int_{0}^{1} x dx - \pi \int_{0}^{1} x^4 dx = \pi [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1} - \pi [\frac{x^5}{5}]_{0}^{1} = \pi (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) = \pi (\frac{5-2}{10}) = \frac{3\pi}{10}$$

(3)

$y = e^x$ と $y = e$ の交点は $x = 1$ である。

$y = e^x$ を $x = \ln y$ と表す。$y$ の積分範囲は $1 \leq y \leq e$ である。

体積 $V$ は、

$$V = \pi \int_{1}^{e} (\ln y)^2 dy$$

ここで、部分積分を行う。

$u = (\ln y)^2, dv = dy$ とすると、$du = \frac{2 \ln y}{y} dy, v = y$

$$V = \pi [y (\ln y)^2]_{1}^{e} - \pi \int_{1}^{e} y \cdot \frac{2 \ln y}{y} dy = \pi [y (\ln y)^2]_{1}^{e} - 2\pi \int_{1}^{e} \ln y dy$$

さらに部分積分を行う。

$u = \ln y, dv = dy$ とすると、$du = \frac{1}{y} dy, v = y$

$$V = \pi [y (\ln y)^2]_{1}^{e} - 2\pi [y \ln y]_{1}^{e} + 2\pi \int_{1}^{e} dy = \pi [y (\ln y)^2 - 2y \ln y + 2y]_{1}^{e}$$

$$V = \pi [(e - 2e + 2e) - (0 - 0 + 2)] = \pi (e - 2)$$

3. 最終的な答え

(1) $\pi (1 - \frac{\pi}{4})$

(2) $\frac{3\pi}{10}$

(3) $\pi(e-2)$