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関数 $y = \log x$ を逆関数の微分公式を用いて微分する。

解析学微分逆関数対数関数微分公式
2025/5/22

1. 問題の内容

関数 y=log⁡xy = \log x を逆関数の微分公式を用いて微分する。

2. 解き方の手順

まず、y=log⁡xy = \log x の逆関数を求める。ここで、log⁡\log は自然対数（底が ee）と考える。
y=log⁡xy = \log x は、ey=xe^y = x と書き換えられる。
したがって、x=eyx = e^y が逆関数である。
次に、逆関数 x=eyx = e^y を yy で微分する。
dxdy=ddy(ey)=ey\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(e^y) = e^y
逆関数の微分公式 dydx=1dxdy\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} を用いる。
dydx=1ey\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}
最後に、ey=xe^y = x であるから、
dydx=1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}

3. 最終的な答え

dydx=1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}

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