$y = \log x$ を逆関数の微分公式を用いて微分する。

1. 問題の内容

$y = \log x$ を逆関数の微分公式を用いて微分する。

2. 解き方の手順

まず、対数関数の逆関数を求める。

$y = \log x$ (底は省略されているが、通常は10を意味する常用対数か、自然対数$e$を意味する) を $x$ について解く。ここでは、自然対数$\ln x$の場合について考える。

$y = \ln x$ のとき、$x = e^y$ となる。

逆関数の微分公式は、

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(e^y) = e^y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

である。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$

常用対数の場合、$y = \log_{10} x$ とすると、$x = 10^y$ となる。

$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}(10^y) = 10^y \ln 10$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}} = \frac{1}{10^y \ln 10} = \frac{1}{x \ln 10}$

$\frac{1}{\ln 10} = \log_{10} e$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\log_{10} e}{x}$

3. 最終的な答え

$y = \ln x$ の場合、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

$y = \log_{10} x$ の場合、$\frac{dy}{dx} = \frac{\log_{10} e}{x}$