$x = \sin y$ が与えられているとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す。

1. 問題の内容

$x = \sin y$ が与えられているとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$x = \sin y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx} (\sin y)$

$1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$

次に、$\cos y$ を $x$ で表す必要があります。

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$

$\cos y = \pm \sqrt{1 - \sin^2 y}$

問題文より、$x = \sin y$ なので、$\sin^2 y = x^2$

よって、$\cos y = \pm \sqrt{1 - x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\pm \sqrt{1 - x^2}}$

$y = \arcsin x$なので、$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ であるから、$cos y \geq 0$　よって、$cos y = \sqrt{1 - x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$