問題1は、以下の2つの極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$ (2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

1. 問題の内容

問題1は、以下の2つの極限を計算する問題です。

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$ の場合：

$a = 1 + t$ とおくと、$t = a - 1$ であり、$t \to 0$ のとき $a \to 1$ となります。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = \lim_{a \to 1} \frac{\log(a)}{a-1}$

ここで、$a = e^x$ とおくと、$x = \log a$ であり、$a \to 1$ のとき、$x \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{a \to 1} \frac{\log(a)}{a-1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{e^x - 1}{x}} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}}$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ について、$e^x = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{x}{n})^n$ であることを用いると、ロピタルの定理を使うこともできますが、$e^x$ の Taylor展開を用いると、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + ...$　なので

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + x + \frac{x^2}{2!} + ... - 1}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + \frac{x}{2!} + ...) = 1$

したがって、$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = \frac{1}{1} = 1$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$ の場合：

これは (1) の計算過程で出てきた極限そのものであり、既に $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ であることがわかっています。

あるいは、ロピタルの定理を用いて、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h}{1} = 1$ とすることもできます。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$