与えられた2つの関数 $y$ について、それぞれ微分を求めます。 (3) $y = \sin^{-1}x \cos^{-1}x$ (5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{x}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $y$ について、それぞれ微分を求めます。

(3) $y = \sin^{-1}x \cos^{-1}x$

(5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{x}$

2. 解き方の手順

(3) の関数は積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

$u = \sin^{-1}x$, $v = \cos^{-1}x$ とおくと、

$u' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $v' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ となります。

よって、

$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\cos^{-1}x + \sin^{-1}x(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})$

$y' = \frac{\cos^{-1}x - \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$

(5) の関数は商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

$u = \sin^{-1}x$, $v = x$ とおくと、

$u' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $v' = 1$ となります。

よって、

$y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}x - \sin^{-1}x(1)}{x^2}$

$y' = \frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \sin^{-1}x}{x^2}$

$y' = \frac{x - \sqrt{1-x^2}\sin^{-1}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

(3) $y' = \frac{\cos^{-1}x - \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}$

(5) $y' = \frac{x - \sqrt{1-x^2}\sin^{-1}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$