$x$ が正の有理数で $x = \frac{m}{n}$ のとき、$a^x = (a^{\frac{1}{n}})^m$ と定義する。この定義が $m, n$ のとり方によらないことを示す。また、$x, y$ が有理数で $0 < x < y$ のとき、$a^x < a^y$ であることを示す。ここで、$a>1$とする。

1. 問題の内容

$x$ が正の有理数で $x = \frac{m}{n}$ のとき、$a^x = (a^{\frac{1}{n}})^m$ と定義する。この定義が $m, n$ のとり方によらないことを示す。また、$x, y$ が有理数で $0 < x < y$ のとき、$a^x < a^y$ であることを示す。ここで、$a>1$とする。

2. 解き方の手順

(1) $a^x$ の定義が $m, n$ の取り方によらないことを示す。

$x = \frac{m}{n} = \frac{km}{kn}$ と表せる。このとき、

$$$$

(a^{\frac{1}{kn}})^{km} = ((a^{\frac{1}{kn}})^k)^m = (a^{\frac{k}{kn}})^m = (a^{\frac{1}{n}})^m

$$$$

となるため、定義は $m, n$ の取り方によらない。

(2) $0 < x < y$ のとき、$a^x < a^y$ であることを示す。

$x, y$ は有理数なので、$x = \frac{m}{n}, y = \frac{p}{q}$ と表せる。

$x < y$ より、$\frac{m}{n} < \frac{p}{q}$ なので、$mq < np$ である。

ここで、$nq > 0$ であるから、$mq < np$ の両辺を $nq$ で割っても大小関係は変わらない。

$\frac{m}{n} < \frac{p}{q}$

ここで、$x < y$ より、$y - x > 0$ なので、$y - x = z = \frac{s}{t} > 0$ (s, t は正の整数) と表せる。

$y = x + z$ なので、$a^y = a^{x+z} = a^x a^z$ となる。

$a^z > 1$ であることを示せば、$a^y > a^x$ が示せる。

$z = \frac{s}{t} > 0$ なので、$a^z = a^{\frac{s}{t}} = (a^{\frac{1}{t}})^s$ である。

$a > 1$ より、$a^{\frac{1}{t}} > 1$ である。

なぜなら、$a^{\frac{1}{t}} = 1$ ならば、$a = 1^t = 1$ となり矛盾する。

$a^{\frac{1}{t}} < 1$ ならば、$a = (a^{\frac{1}{t}})^t < 1$ となり矛盾する。

よって、$a^{\frac{1}{t}} > 1$ である。

したがって、$s > 0$ より、$(a^{\frac{1}{t}})^s > 1$ となる。

ゆえに、$a^z > 1$ であるから、$a^y = a^x a^z > a^x$ となる。

よって、$a^x < a^y$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $a^x$ の定義は $m, n$ の取り方によらない。

(2) $0 < x < y$ のとき、$a^x < a^y$ である。