与えられた関数の極値を求め、そのグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 5$ (2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 11$ の2つの関数について解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数の極値を求め、そのグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 5$

(2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 11$

の2つの関数について解きます。

2. 解き方の手順

(1) $y = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 5$ の場合

まず、導関数を求めます。

$y' = 12x^3 - 48x^2 + 36x$

$y' = 12x(x^2 - 4x + 3)$

$y' = 12x(x - 1)(x - 3)$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$12x(x - 1)(x - 3) = 0$

$x = 0, 1, 3$

次に、増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 1 | ... | 3 | ... |

|------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | \searrow | 5 | \nearrow | 10 | \searrow | -22 | \nearrow |

$x = 0$ のとき、極小値 $y = 5$

$x = 1$ のとき、極大値 $y = 3(1)^4 - 16(1)^3 + 18(1)^2 + 5 = 3 - 16 + 18 + 5 = 10$

$x = 3$ のとき、極小値 $y = 3(3)^4 - 16(3)^3 + 18(3)^2 + 5 = 3(81) - 16(27) + 18(9) + 5 = 243 - 432 + 162 + 5 = -22$

(2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 11$ の場合

まず、導関数を求めます。

$y' = 4x^3 - 24x^2 + 36x$

$y' = 4x(x^2 - 6x + 9)$

$y' = 4x(x - 3)^2$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x(x - 3)^2 = 0$

$x = 0, 3$

次に、増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 3 | ... |

|------|-----|-----|-----|-----|-----|

| y' | - | 0 | + | 0 | + |

| y | \searrow | -11 | \nearrow | -11 | \nearrow |

$x = 0$ のとき、極小値 $y = -11$

$x = 3$ のとき、$y = (3)^4 - 8(3)^3 + 18(3)^2 - 11 = 81 - 8(27) + 18(9) - 11 = 81 - 216 + 162 - 11 = -11-4 = -15+4 = -15 + 10-5$極値を持たない。なぜなら、$y'$が０になるけど符号が変わらないから。$y = x^4-8x^3+18x^2-11$でx=3の近傍で$y'$の値は変わらないため、極値を持たない。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^4 - 16x^3 + 18x^2 + 5$ の場合

極小値: $x = 0$ のとき $y = 5$, $x = 3$ のとき $y = -22$

極大値: $x = 1$ のとき $y = 10$

(2) $y = x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 11$ の場合

極小値: $x = 0$ のとき $y = -11$

極大値: なし

$x=3$は極値ではない