与えられた3つの逆三角関数のグラフを描く問題です。 (1) $y = 2\sin^{-1}x$ (2) $y = \cos^{-1}x - \frac{\pi}{2}$ (3) $y = -\tan^{-1}(x-1) + 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの逆三角関数のグラフを描く問題です。

(1) $y = 2\sin^{-1}x$

(2) $y = \cos^{-1}x - \frac{\pi}{2}$

(3) $y = -\tan^{-1}(x-1) + 1$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、グラフの形状を理解し、必要な平行移動や伸縮を考慮してグラフを描きます。

(1) $y = 2\sin^{-1}x$

- 基本となる関数は $y = \sin^{-1}x$ です。このグラフは、$-1 \le x \le 1$ の範囲で定義され、$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ の範囲の値を取ります。

- $y = 2\sin^{-1}x$ は、$y = \sin^{-1}x$ のグラフをy軸方向に2倍に拡大したものです。したがって、定義域は $-1 \le x \le 1$ のままで、$-\pi \le y \le \pi$ の範囲の値を取ります。

(2) $y = \cos^{-1}x - \frac{\pi}{2}$

- 基本となる関数は $y = \cos^{-1}x$ です。このグラフは、$-1 \le x \le 1$ の範囲で定義され、$0 \le y \le \pi$ の範囲の値を取ります。

- $y = \cos^{-1}x - \frac{\pi}{2}$ は、$y = \cos^{-1}x$ のグラフをy軸方向に $-\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動したものです。したがって、定義域は $-1 \le x \le 1$ のままで、$-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ の範囲の値を取ります。

(3) $y = -\tan^{-1}(x-1) + 1$

- 基本となる関数は $y = \tan^{-1}x$ です。このグラフは、すべての実数 $x$ に対して定義され、$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ の範囲の値を取ります。

- $y = \tan^{-1}(x-1)$ は、$y = \tan^{-1}x$ のグラフをx軸方向に1だけ平行移動したものです。

- $y = -\tan^{-1}(x-1)$ は、$y = \tan^{-1}(x-1)$ のグラフをx軸に関して反転させたものです。

- $y = -\tan^{-1}(x-1) + 1$ は、$y = -\tan^{-1}(x-1)$ のグラフをy軸方向に1だけ平行移動したものです。

-したがって、すべての実数 $x$ に対して定義され、$1-\frac{\pi}{2} < y < 1+\frac{\pi}{2}$ の範囲の値を取ります。

3. 最終的な答え

それぞれの関数のグラフは以下のようになります。

- (1) $y = 2\sin^{-1}x$: $x \in [-1, 1], y \in [-\pi, \pi]$

- (2) $y = \cos^{-1}x - \frac{\pi}{2}$: $x \in [-1, 1], y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

- (3) $y = -\tan^{-1}(x-1) + 1$: $x \in (-\infty, \infty), y \in (1 - \frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2})$

（グラフの概形を描くことはできません）