次の2つの関数の増減、凹凸、極値、変曲点を調べて、そのグラフの概形をかく問題です。 (1) $y = \frac{x}{x^2+1}$ (2) $y = e^{-2x^2}$

1. 問題の内容

次の2つの関数の増減、凹凸、極値、変曲点を調べて、そのグラフの概形をかく問題です。

(1) $y = \frac{x}{x^2+1}$

(2) $y = e^{-2x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{x}{x^2+1}$

* **増減、極値**

まず、一階導関数を計算します。

$y' = \frac{(x^2+1) - x(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

$y'=0$ となる $x$ は $x = \pm 1$。

$y'$ の符号を調べると、

* $x < -1$ のとき、$y' < 0$ (減少)

* $-1 < x < 1$ のとき、$y' > 0$ (増加)

* $x > 1$ のとき、$y' < 0$ (減少)

よって、$x = -1$ で極小値 $y = -\frac{1}{2}$、$x = 1$ で極大値 $y = \frac{1}{2}$ をとります。

* **凹凸、変曲点**

二階導関数を計算します。

$y'' = \frac{-2x(x^2+1)^2 - (1-x^2)2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4} = \frac{-2x(x^2+1) - 4x(1-x^2)}{(x^2+1)^3} = \frac{-2x^3-2x-4x+4x^3}{(x^2+1)^3} = \frac{2x^3-6x}{(x^2+1)^3} = \frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}$

$y''=0$ となる $x$ は $x = 0, \pm \sqrt{3}$。

$y''$ の符号を調べると、

* $x < -\sqrt{3}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $-\sqrt{3} < x < 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $0 < x < \sqrt{3}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $x > \sqrt{3}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

よって、$x = -\sqrt{3}$ で変曲点 $y = -\frac{\sqrt{3}}{4}$、$x = 0$ で変曲点 $y = 0$、$x = \sqrt{3}$ で変曲点 $y = \frac{\sqrt{3}}{4}$ をとります。

* **グラフの概形**

上記の情報を元にグラフをかきます。

(2) $y = e^{-2x^2}$

* **増減、極値**

まず、一階導関数を計算します。

$y' = -4xe^{-2x^2}$

$y' = 0$ となる $x$ は $x = 0$。

$y'$ の符号を調べると、

* $x < 0$ のとき、$y' > 0$ (増加)

* $x > 0$ のとき、$y' < 0$ (減少)

よって、$x = 0$ で極大値 $y = 1$ をとります。

* **凹凸、変曲点**

二階導関数を計算します。

$y'' = -4e^{-2x^2} + (-4x)(-4x)e^{-2x^2} = (-4+16x^2)e^{-2x^2} = 4(4x^2-1)e^{-2x^2}$

$y''=0$ となる $x$ は $x = \pm \frac{1}{2}$。

$y''$ の符号を調べると、

* $x < -\frac{1}{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

* $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

* $x > \frac{1}{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

よって、$x = -\frac{1}{2}$ で変曲点 $y = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$、$x = \frac{1}{2}$ で変曲点 $y = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$ をとります。

* **グラフの概形**

上記の情報を元にグラフをかきます。

また、$x \to \pm \infty$ のとき、$y \to 0$ となることも考慮します。

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{x}{x^2+1}$のグラフの概形

* 極大値: $(1, \frac{1}{2})$

* 極小値: $(-1, -\frac{1}{2})$

* 変曲点: $(-\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{4})$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{4})$

(2) $y = e^{-2x^2}$のグラフの概形

* 極大値: $(0, 1)$

* 変曲点: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$