$x \geq 0$ を実数とし、$\{x_n\}$ を単調増加な有理数列で $\lim_{n \to \infty} x_n = x$ となるものとする。 $\{a^{x_n}\}$ が収束すること、およびこの極限値は数列 $\{x_n\}$ の取り方によらないことを示し、これを用いて $a^x = \lim_{n \to \infty} a^{x_n}$ と定義する。また $x < 0$ のとき、$a^x = \frac{1}{a^{-x}}$ と定義する。

1. 問題の内容

$x \geq 0$ を実数とし、$\{x_n\}$ を単調増加な有理数列で $\lim_{n \to \infty} x_n = x$ となるものとする。 $\{a^{x_n}\}$ が収束すること、およびこの極限値は数列 $\{x_n\}$ の取り方によらないことを示し、これを用いて $a^x = \lim_{n \to \infty} a^{x_n}$ と定義する。また $x < 0$ のとき、$a^x = \frac{1}{a^{-x}}$ と定義する。

2. 解き方の手順

以下、$a > 0$ とする。

(i) $\{a^{x_n}\}$ が収束することを示す。

$\{x_n\}$ は単調増加で上に有界な有理数列であるから、$x_n \leq x$ である。

$a > 1$ の場合、$a^{x_n}$ は単調増加である。また、$a^{x_n} \leq a^x$ であるから、$\{a^{x_n}\}$ は上に有界である。したがって、単調増加で上に有界な数列であるから収束する。

$0 < a < 1$ の場合、$a^{x_n}$ は単調減少である。また、$a^{x_n} \geq a^x$ であるから、$\{a^{x_n}\}$ は下に有界である。したがって、単調減少で下に有界な数列であるから収束する。

$a = 1$ の場合、$a^{x_n} = 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} a^{x_n} = 1$ であり、収束する。

(ii) 極限値が数列 $\{x_n\}$ の取り方によらないことを示す。

別の単調増加な有理数列 $\{y_n\}$ で $\lim_{n \to \infty} y_n = x$ となるものを考える。このとき、$\lim_{n \to \infty} a^{x_n} = \lim_{n \to \infty} a^{y_n}$ を示す必要がある。

任意に $\epsilon > 0$ を取る。このとき、$N_1$ が存在して、$n > N_1$ ならば $|x_n - x| < \epsilon$ である。同様に、$N_2$ が存在して、$n > N_2$ ならば $|y_n - x| < \epsilon$ である。

$a > 1$ とする。$\lim_{n \to \infty} x_n = x$ より、任意の正の整数 $k$ に対して $x - \frac{1}{k} < x_n$ となる $n$ が存在する。同様に、$\lim_{n \to \infty} y_n = x$ より、任意の正の整数 $k$ に対して $x - \frac{1}{k} < y_n$ となる $n$ が存在する。

したがって、$\lim_{n \to \infty} a^{x_n} = a^x$ かつ $\lim_{n \to \infty} a^{y_n} = a^x$ であるから、$\lim_{n \to \infty} a^{x_n} = \lim_{n \to \infty} a^{y_n}$ となる。

$0 < a < 1$ の場合も同様に示すことができる。

3. 最終的な答え

$x \geq 0$ のとき、$\{a^{x_n}\}$ は収束し、その極限値は数列 $\{x_n\}$ の取り方によらない。$a^x = \lim_{n \to \infty} a^{x_n}$ と定義する。また、$x < 0$ のとき、$a^x = \frac{1}{a^{-x}}$ と定義する。