$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限を求めるには、ロピタルの定理を使用できます。

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形であり、$\lim_{x \to a} f(x) = 0$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ (または $\pm \infty$) の場合、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

この問題では、$f(x) = e^x - e^{-x}$ かつ $g(x) = x$ です。

$x \to 0$ のとき、$f(x) \to e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0$ かつ $g(x) \to 0$ なので、ロピタルの定理が適用できます。

$f'(x) = e^x - (-1)e^{-x} = e^x + e^{-x}$

$g'(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{1} = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

2