問1： x軸上を運動する質点の速度 $v(t) = e^{-t/4} \sin(2t)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。 (i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描き、その考え方を説明する。 (ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。 (iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ とする。 (iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置がどのように振る舞うか答える。 問2： 地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動を考える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体に作用する力は、鉛直下向きの重力 (大きさ $mg$) と、速度に比例する粘性抵抗 (大きさ $bv$, $b>0$) であるとする。 (i) 物体が満たす運動方程式を立てる。 (ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。 (iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、その終端速度を求める。

1. 問題の内容

問1：

x軸上を運動する質点の速度 $v(t) = e^{-t/4} \sin(2t)$ が与えられたとき、以下の問いに答える。

(i) $0 \le t \le 2\pi$ の範囲で $v(t)$ のグラフの概形を描き、その考え方を説明する。

(ii) 時刻 $t$ における加速度 $a(t)$ を求める。

(iii) 時刻 $t$ における位置 $x(t)$ を求める。ただし、$t=0$ のとき $x=0$ とする。

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置がどのように振る舞うか答える。

問2：

地表面付近で空気抵抗を受ける質量 $m$ の物体の落下運動を考える。重力加速度の大きさを $g$ とし、鉛直上向きを $y$ 軸とする。物体に作用する力は、鉛直下向きの重力 (大きさ $mg$) と、速度に比例する粘性抵抗 (大きさ $bv$, $b>0$) であるとする。

(i) 物体が満たす運動方程式を立てる。

(ii) $t=0$ で $v=v_0$ を満たす運動方程式の解が $v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$ となることを確かめる。

(iii) 十分時間が経過したとき、速度が一定の速度に漸近することを示し、その終端速度を求める。

2. 解き方の手順

問1：

(i) グラフの概形：

$v(t) = e^{-t/4} \sin(2t)$

$t=0$ のとき $v(0) = 0$。

$t = \pi/2$ のとき $v(\pi/2) = e^{-\pi/8} \sin(\pi) = 0$。

$t = \pi$ のとき $v(\pi) = e^{-\pi/4} \sin(2\pi) = 0$。

$t = 3\pi/2$ のとき $v(3\pi/2) = e^{-3\pi/8} \sin(3\pi) = 0$。

$t = 2\pi$ のとき $v(2\pi) = e^{-\pi/2} \sin(4\pi) = 0$。

$v(t)$ は、$t=0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ で $0$ になる。$e^{-t/4}$ は常に正で減衰していく関数である。$\sin(2t)$は周期$\pi$で振動する。したがって、$v(t)$ は振動しながら減衰していく。

(ii) 加速度 $a(t)$：

速度 $v(t)$ を時間 $t$ で微分する。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt} (e^{-t/4} \sin(2t)) = -\frac{1}{4}e^{-t/4} \sin(2t) + 2e^{-t/4} \cos(2t) = e^{-t/4} (2\cos(2t) - \frac{1}{4} \sin(2t))$

(iii) 位置 $x(t)$：

位置 $x(t)$ は速度 $v(t)$ を時間 $t$ で積分することで求められる。

$x(t) = \int v(t) dt = \int e^{-t/4} \sin(2t) dt$

部分積分を行う。

$I = \int e^{-t/4} \sin(2t) dt$

$u = \sin(2t)$, $dv = e^{-t/4} dt$ とすると、$du = 2\cos(2t) dt$, $v = -4e^{-t/4}$

$I = -4e^{-t/4} \sin(2t) + 8 \int e^{-t/4} \cos(2t) dt$

さらに部分積分を行う。

$u = \cos(2t)$, $dv = e^{-t/4} dt$ とすると、$du = -2\sin(2t) dt$, $v = -4e^{-t/4}$

$\int e^{-t/4} \cos(2t) dt = -4e^{-t/4} \cos(2t) - 8 \int e^{-t/4} \sin(2t) dt = -4e^{-t/4} \cos(2t) - 8I$

したがって、$I = -4e^{-t/4} \sin(2t) + 8(-4e^{-t/4} \cos(2t) - 8I) = -4e^{-t/4} \sin(2t) - 32e^{-t/4} \cos(2t) - 64I$

$65I = -4e^{-t/4} \sin(2t) - 32e^{-t/4} \cos(2t)$

$I = -\frac{4}{65} e^{-t/4} \sin(2t) - \frac{32}{65} e^{-t/4} \cos(2t) + C$

$x(t) = -\frac{4}{65} e^{-t/4} \sin(2t) - \frac{32}{65} e^{-t/4} \cos(2t) + C$

$t=0$ のとき $x=0$ なので、

$0 = -\frac{4}{65} e^{0} \sin(0) - \frac{32}{65} e^{0} \cos(0) + C = 0 - \frac{32}{65} + C$

$C = \frac{32}{65}$

$x(t) = -\frac{4}{65} e^{-t/4} \sin(2t) - \frac{32}{65} e^{-t/4} \cos(2t) + \frac{32}{65}$

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置：

$t \to \infty$ のとき、$e^{-t/4} \to 0$ なので、$x(t) \to \frac{32}{65}$。質点の位置は $\frac{32}{65}$ に近づく。

問2：

(i) 運動方程式：

鉛直上向きを正とすると、重力は $-mg$、空気抵抗は $-bv$。運動方程式は、

$m \frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 解の確認：

$v(t) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}$

$\frac{dv}{dt} = (v_0 - \frac{mg}{b}) (-\frac{b}{m}) e^{-\frac{b}{m}t}$

$m \frac{dv}{dt} = -b (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} = -b v(t) + mg + mg e^{-\frac{b}{m}t}$

$-mg -bv(t) = -bv_0 + mg e^{-\frac{b}{m}t} -mg -b (\frac{mg}{b}) =-b (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} - mg$

$-b v(t) + mg = -b((v_0 - \frac{mg}{b})e^{-\frac{b}{m}t} + \frac{mg}{b}) +mg = -b (v_0 - \frac{mg}{b}) e^{-\frac{b}{m}t} -mg + mg$

$m \frac{dv}{dt} = -mg - bv$

$m \frac{dv}{dt} + bv = -mg$

$v(0) = (v_0 - \frac{mg}{b})e^{0} + \frac{mg}{b} = v_0 - \frac{mg}{b} + \frac{mg}{b} = v_0$

よって、$v(t)$ は運動方程式を満たす。

(iii) 終端速度：

$t \to \infty$ のとき、$e^{-\frac{b}{m}t} \to 0$ なので、$v(t) \to \frac{mg}{b}$

したがって、終端速度は $\frac{mg}{b}$ である。

3. 最終的な答え

問1：

(i) グラフの概形：減衰振動。$t=0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ で $v(t)=0$。

(ii) 加速度：$a(t) = e^{-t/4} (2\cos(2t) - \frac{1}{4} \sin(2t))$

(iii) 位置：$x(t) = -\frac{4}{65} e^{-t/4} \sin(2t) - \frac{32}{65} e^{-t/4} \cos(2t) + \frac{32}{65}$

(iv) 時刻が経つにつれて、質点の位置は $\frac{32}{65}$ に近づく。

問2：

(i) 運動方程式：$m \frac{dv}{dt} = -mg - bv$

(ii) 解の確認：省略

(iii) 終端速度：$\frac{mg}{b}$