ド・ロピタルの定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0+0} x^a \log x$ (ただし、$a > 0$) を求めます。

1. 問題の内容

ド・ロピタルの定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0+0} x^a \log x$ (ただし、$a > 0$) を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^a \log x$ の形を $\frac{\log x}{x^{-a}}$ のように変形します。

すると、$x \to 0+0$ のとき、$\log x \to -\infty$ および $x^{-a} \to \infty$ となり、$\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形となります。したがって、ド・ロピタルの定理を適用できます。

$\frac{\log x}{x^{-a}}$ の分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分は $\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

分母の微分は $\frac{d}{dx} x^{-a} = -ax^{-a-1}$

したがって、

$$\lim_{x \to 0+0} \frac{\log x}{x^{-a}} = \lim_{x \to 0+0} \frac{1/x}{-ax^{-a-1}} = \lim_{x \to 0+0} \frac{1/x}{-a/x^{a+1}} = \lim_{x \to 0+0} \frac{x^{a+1}}{-ax} = \lim_{x \to 0+0} \frac{x^a}{-a} = \frac{0}{-a} = 0$$

3. 最終的な答え

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