$a < b$のとき、平均値の定理を用いて$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$を証明します。

1. 問題の内容

$a < b$のとき、平均値の定理を用いて$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$を証明します。

2. 解き方の手順

平均値の定理を適用します。

関数を$f(x) = e^x$とします。

$f(x)$はすべての$x$で連続かつ微分可能です。

したがって、区間$[a, b]$において平均値の定理を適用できます。

平均値の定理によれば、ある$c \in (a, b)$が存在し、

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

が成り立ちます。

この場合、$f(x) = e^x$なので、$f'(x) = e^x$です。

したがって、

$$e^c = \frac{e^b - e^a}{b - a}$$

となります。

ここで、$a < c < b$であることから、$e^a < e^c < e^b$が成り立ちます。

したがって、

$$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$$

が証明されました。

3. 最終的な答え

$a < b$のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$