$y = \tan^{-1}e^x$ の導関数 $y'$ を求める。

1. 問題の内容

$y = \tan^{-1}e^x$ の導関数 $y'$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、逆正接関数 $\tan^{-1}u$ の微分公式を適用します。

$\frac{d}{du} \tan^{-1}u = \frac{1}{1+u^2}$

次に、合成関数の微分（連鎖律）を適用します。

$y = \tan^{-1}e^x$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \tan^{-1}e^x = \frac{1}{1+(e^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}e^x$

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$ であるから、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+e^{2x}} \cdot e^x = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$