問題は2つの極限を計算することです。 (1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$ (2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

1. 問題の内容

問題は2つの極限を計算することです。

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$

2. 解き方の手順

(1) の解き方：

$y = 1+t$ とおくと、$t = y-1$ であり、$t \to 0$ のとき $y \to 1$ となります。

したがって、

$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = \lim_{y \to 1} \frac{\log y}{y-1}$

ここで、$f(y) = \log y$ とおくと、$f(1) = \log 1 = 0$。

したがって、

$\lim_{y \to 1} \frac{\log y}{y-1} = \lim_{y \to 1} \frac{f(y) - f(1)}{y-1} = f'(1)$

$f(y) = \log y$ より、$f'(y) = \frac{1}{y}$ なので、$f'(1) = \frac{1}{1} = 1$

よって、$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$

(2) の解き方：

$f(h) = e^h$ とおくと、$f(0) = e^0 = 1$。

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h-0} = f'(0)$

$f(h) = e^h$ より、$f'(h) = e^h$ なので、$f'(0) = e^0 = 1$

よって、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t} = 1$

(2) $\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$