関数 $y=e^x$ を定義に従って微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y=e^x$ を定義に従って微分せよ。

2. 解き方の手順

微分を定義に従って求めるには、以下の公式を利用します。

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f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

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この公式に $f(x) = e^x$ を代入します。

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f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h}

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指数関数の性質 $e^{x+h} = e^x e^h$ を利用すると、

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f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^x(e^h - 1)}{h}

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$e^x$ は $h$ に依存しないので、極限の外に出せます。

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f'(x) = e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}

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ここで、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ であることが知られています。したがって、

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f'(x) = e^x \cdot 1 = e^x

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3. 最終的な答え

$y' = e^x$