媒介変数 $t$ で表された曲線 $x=2\cos{t}$, $y=\sin{t}$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と、$x$軸、および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線 $x=2\cos{t}$, $y=\sin{t}$ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) と、$x$軸、および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の関係式を求めます。

$x = 2\cos{t}$ より、$\cos{t} = \frac{x}{2}$

$y = \sin{t}$ より、$\sin{t} = y$

$\sin^2{t} + \cos^2{t} = 1$ であるから、

$$y^2 + \frac{x^2}{4} = 1$$

これは楕円の方程式です。$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ の範囲では、$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ なので、第一象限にある楕円の一部となります。

求める面積$S$は、

$$S = \int_{0}^{2} y dx$$

ここで、$x=2\cos{t}$ より $dx = -2\sin{t} dt$ であり、$x: 2 \to 0$ のとき $t: 0 \to \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、

$$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \sin{t} (-2\sin{t}) dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2{t} dt$$

$\sin^2{t} = \frac{1-\cos{2t}}{2}$ であるから、

$$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1-\cos{2t}}{2} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1-\cos{2t}) dt$$

$$S = \left[ t - \frac{1}{2}\sin{2t} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\sin{\pi} \right) - \left( 0 - \frac{1}{2}\sin{0} \right) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$