関数 $y = 5^{x^2 - 1}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = 5^{x^2 - 1}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法を使います。

$y = a^u$ の導関数は $\frac{dy}{dx} = a^u \ln a \cdot \frac{du}{dx}$ で与えられます。

ここで、$a = 5$ であり、$u = x^2 - 1$ です。

まず、$u = x^2 - 1$ の導関数を求めます。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x$

次に、$y = 5^{x^2 - 1}$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = 5^{x^2 - 1} \ln 5 \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = 5^{x^2 - 1} \ln 5 \cdot 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2x \cdot 5^{x^2 - 1} \ln 5$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2x \cdot 5^{x^2 - 1} \ln 5$