関数 $y = \tan^{-1} e^x$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan^{-1} e^x$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、逆正接関数 $y = \tan^{-1} u$ の微分公式を思い出します。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}$

次に、合成関数の微分（連鎖律）を使います。

$y = \tan^{-1} (e^x)$なので、$u = e^x$と置くと、$y = \tan^{-1} u$となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{1 + (e^x)^2} = \frac{1}{1 + e^{2x}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (e^x) = e^x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+e^{2x}} \cdot e^x = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$