$0 \le x < 2\pi$において、$y = \sin \frac{x}{2}$のグラフと$y = \cos x$のグラフの共有点の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x < 2\pi$において、$y = \sin \frac{x}{2}$のグラフと$y = \cos x$のグラフの共有点の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

共有点の個数は、方程式$\sin \frac{x}{2} = \cos x$の解の個数に等しい。

$\cos x = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$であるから、

$\sin \frac{x}{2} = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}$

$2 \sin^2 \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2} - 1 = 0$

$t = \sin \frac{x}{2}$とおくと、

$2t^2 + t - 1 = 0$

$(2t - 1)(t + 1) = 0$

したがって、$t = \frac{1}{2}, -1$

$\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$または$\sin \frac{x}{2} = -1$

(i) $\sin \frac{x}{2} = \frac{1}{2}$のとき

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$0 \le x < 2\pi$を満たす。

(ii) $\sin \frac{x}{2} = -1$のとき

$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{2}$

$x = 3\pi$

$0 \le x < 2\pi$を満たさない。

よって、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$の2つである。

3. 最終的な答え

2個