関数 $f(x) = \log\left(\frac{\cos x}{1 + \sin x}\right)$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。ただし、$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ とします。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log\left(\frac{\cos x}{1 + \sin x}\right)$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。ただし、$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を対数の性質を使って変形します。

$\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$ を用いると、

$f(x) = \log(\cos x) - \log(1 + \sin x)$

次に、$f(x)$ を微分します。$\log$ の微分は $\frac{1}{x}$ であり、合成関数の微分を用いると、

$f'(x) = \frac{-\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

$f'(x) = -\frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\cos x}{1 + \sin x}$

通分して整理します。

$f'(x) = \frac{-\sin x(1 + \sin x) - \cos^2 x}{\cos x (1 + \sin x)}$

$f'(x) = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{\cos x (1 + \sin x)}$

三角関数の恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を用いると、

$f'(x) = \frac{-\sin x - 1}{\cos x (1 + \sin x)}$

$f'(x) = \frac{-(1 + \sin x)}{\cos x (1 + \sin x)}$

$1 + \sin x \neq 0$ であるから、約分できます。

$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos x > 0$ であるので、

$f'(x) = -\frac{1}{\cos x}$

$f'(x) = - \sec x$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{1}{\cos x} = -\sec x$