関数 $(x^2 + 3)e^{4x^2 + x}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $(x^2 + 3)e^{4x^2 + x}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

この関数は、積の形をしているので、積の微分法則と合成関数の微分法則を利用します。

積の微分法則とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が、

$\frac{d}{dx}(u(x)v(x)) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ で表されるというものです。

まず、$u(x) = x^2 + 3$ と $v(x) = e^{4x^2 + x}$ とおきます。

$u'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 3) = 2x$ となります。

次に、$v(x) = e^{4x^2 + x}$ の微分を求めます。

$w(x) = 4x^2 + x$ とおくと、$v(x) = e^{w(x)}$ と表せます。

合成関数の微分法則より、

$\frac{dv}{dx} = \frac{de^{w}}{dw} \cdot \frac{dw}{dx}$

$\frac{de^{w}}{dw} = e^{w}$ であり、

$\frac{dw}{dx} = \frac{d}{dx}(4x^2 + x) = 8x + 1$ です。

したがって、

$v'(x) = e^{4x^2 + x}(8x + 1)$ となります。

積の微分法則を用いると、

$\frac{d}{dx}((x^2 + 3)e^{4x^2 + x}) = (2x)e^{4x^2 + x} + (x^2 + 3)e^{4x^2 + x}(8x + 1)$

$= e^{4x^2 + x}(2x + (x^2 + 3)(8x + 1))$

$= e^{4x^2 + x}(2x + 8x^3 + x^2 + 24x + 3)$

$= e^{4x^2 + x}(8x^3 + x^2 + 26x + 3)$

3. 最終的な答え

$(8x^3 + x^2 + 26x + 3)e^{4x^2 + x}$