$k$ を定数とするとき、方程式 $e^x = x + k$ の異なる実数解の個数を調べる。

1. 問題の内容

$k$ を定数とするとき、方程式 $e^x = x + k$ の異なる実数解の個数を調べる。

2. 解き方の手順

$e^x = x + k$ の実数解の個数は、関数 $y = e^x$ のグラフと関数 $y = x + k$ のグラフの交点の個数に等しい。

$y = x + k$ は傾きが 1 の直線であり、$k$ の値によって $y$ 切片が変化する。

そこで、$y = e^x$ と $y = x + k$ のグラフが接する場合を考える。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点における傾きが等しくなるから、$e^t = 1$。したがって、$t = 0$。

接点の座標は $(0, 1)$ であり、$y = x + k$ がこの点を通るから、$1 = 0 + k$ より、$k = 1$。

$k = 1$ のとき、$e^x = x + 1$ は $x = 0$ で接する。

このとき、$e^x \ge x + 1$ であることが知られている（または、$f(x)=e^x-x-1$として、$f'(x)=e^x-1$, $f'(x)=0$のとき、$x=0$で最小値$f(0)=0$をとることから示せる）。したがって、接するとき、解は1つである。

$k > 1$ のとき、$y = x + k$ は $y = x + 1$ を上方に平行移動したものになるので、$y = e^x$ との交点は存在しない。

$k < 1$ のとき、$y = x + k$ は $y = x + 1$ を下方に平行移動したものになるので、$y = e^x$ との交点は 2 つ存在する。

3. 最終的な答え

- $k > 1$ のとき、実数解の個数は 0 個。

- $k = 1$ のとき、実数解の個数は 1 個。

- $k < 1$ のとき、実数解の個数は 2 個。