$x \to 0$のとき、以下の式の空欄に入る適切な式を求めよ。 (1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \fbox{} + o(x)$ (2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \fbox{} + o(x^6)$ (3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \fbox{} + o(1)$

1. 問題の内容

$x \to 0$のとき、以下の式の空欄に入る適切な式を求めよ。

(1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \fbox{} + o(x)$

(2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \fbox{} + o(x^6)$

(3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \fbox{} + o(1)$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 0$における$\sin x$のマクローリン展開は次の通りである。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots$

よって、

$x - \sin x = x - (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots) = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \frac{x^7}{5040} - \dots$

$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + \frac{x^4}{5040} - \dots$

したがって、$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x)$

(2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)$

$x \to 0$における$\log(1+x)$のマクローリン展開は次の通りである。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \dots$

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} - \dots$

よって、

$\log(1+x) - \log(1-x) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + \dots = 2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5 + o(x^6)$

したがって、$\log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5 + o(x^6)$

(3) $(1+x)^{\frac{1}{x}} = \exp(\frac{1}{x} \log(1+x))$

$x \to 0$における$\log(1+x)$のマクローリン展開は次の通りである。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

$\frac{1}{x} \log(1+x) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = \exp(\frac{1}{x} \log(1+x)) = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots}$

$e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots} = 1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots) + \frac{1}{2}(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \dots)^2 + \dots$

$= 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \frac{1}{2} (\frac{x^2}{4}) + O(x^3) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{7}{12} x^2 + O(x^3)$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e(1 - \frac{x}{2} + \frac{7}{12} x^2 + \dots)$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} - e = e(-\frac{x}{2} + \frac{7}{12} x^2 + \dots)$

$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = e(-\frac{1}{2} + \frac{7}{12} x + \dots)$

したがって、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + o(1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5$

(3) $-\frac{e}{2}$