点(2, 2)から放物線 $C: y = x^2 - 2x + 6$ に引いた2本の接線の方程式を求め、さらに放物線 $C$ と2本の接線で囲まれた図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

点(2, 2)から放物線 $C: y = x^2 - 2x + 6$ に引いた2本の接線の方程式を求め、さらに放物線 $C$ と2本の接線で囲まれた図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $C: y = x^2 - 2x + 6$ 上の点$(t, t^2 - 2t + 6)$における接線の方程式を求めます。

$y' = 2x - 2$ なので、接線の傾きは $2t - 2$ です。

よって、接線の方程式は、

$y - (t^2 - 2t + 6) = (2t - 2)(x - t)$

$y = (2t - 2)x - 2t^2 + 2t + t^2 - 2t + 6$

$y = (2t - 2)x - t^2 + 6$

この接線が点(2, 2)を通るので、

$2 = (2t - 2)(2) - t^2 + 6$

$2 = 4t - 4 - t^2 + 6$

$t^2 - 4t = 0$

$t(t - 4) = 0$

$t = 0, 4$

$t=0$ のとき、接線は $y = -2x + 6$

$t=4$ のとき、接線は $y = 6x - 10$

次に、放物線と2つの接線で囲まれた図形の面積を求めます。

交点のx座標はそれぞれ、$t=0$ と $t=4$に対応する$x=0$と$x=4$ではないことに注意します。

2つの接線の交点を求めます。

$-2x + 6 = 6x - 10$

$8x = 16$

$x = 2$

$y = -2(2) + 6 = 2$

放物線$y = x^2 - 2x + 6$と接線$y = -2x + 6$の交点のx座標は、

$x^2 - 2x + 6 = -2x + 6$

$x^2 = 0$

$x = 0$

放物線$y = x^2 - 2x + 6$と接線$y = 6x - 10$の交点のx座標は、

$x^2 - 2x + 6 = 6x - 10$

$x^2 - 8x + 16 = 0$

$(x - 4)^2 = 0$

$x = 4$

求める面積は、

$\int_0^4 |x^2 - 2x + 6 - (-2x + 6)| dx + \int_4^2 |x^2 - 2x + 6 - (6x - 10)| dx$

$= \int_0^4 |x^2| dx + \int_4^2 |x^2 - 8x + 16| dx$

$= \int_0^4 x^2 dx + \int_4^2 (x - 4)^2 dx$

$= \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^4 + \left[\frac{1}{3}(x - 4)^3\right]_4^2$

$= \frac{1}{3}(4^3 - 0^3) + \frac{1}{3}((2 - 4)^3 - (4 - 4)^3)$

$= \frac{64}{3} + \frac{1}{3}((-2)^3 - 0)$

$= \frac{64}{3} - \frac{8}{3}$

$= \frac{56}{3}$

3. 最終的な答え

$l_1: y = -2x + 6$

$l_2: y = 6x - 10$

面積: $\frac{56}{3}$