与えられた極限値を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ (2) $\lim_{x \to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$ (3) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$ (4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$

はい、承知いたしました。与えられた4つの極限を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限値を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$

(2) $\lim_{x \to 0} (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$

(3) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$

(4) $\lim_{x \to +0} x^{\sin x}$

2. 解き方の手順

(1)

$y = \left( \frac{\sin x}{x} \right)^{\frac{1}{x^2}}$ と置きます。

$\log y = \frac{1}{x^2} \log \left( \frac{\sin x}{x} \right)$

ここで、$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ より、$\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)$ です。

したがって、$\log \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \log \left( 1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4) \right) = -\frac{x^2}{6} + O(x^4)$ です。

$\log y = \frac{1}{x^2} \left( -\frac{x^2}{6} + O(x^4) \right) = -\frac{1}{6} + O(x^2)$

$\lim_{x \to 0} \log y = -\frac{1}{6}$

$\lim_{x \to 0} y = e^{-\frac{1}{6}}$

(2)

$y = (\cosh x)^{\frac{1}{x^2}}$ と置きます。

$\log y = \frac{1}{x^2} \log (\cosh x)$

ここで、$\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$ です。

したがって、$\log (\cosh x) = \log \left( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6) \right) = \frac{x^2}{2} + O(x^4)$ です。

$\log y = \frac{1}{x^2} \left( \frac{x^2}{2} + O(x^4) \right) = \frac{1}{2} + O(x^2)$

$\lim_{x \to 0} \log y = \frac{1}{2}$

$\lim_{x \to 0} y = e^{\frac{1}{2}}$

(3)

$y = (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$ と置きます。

$\log y = \frac{1}{\log x} \log (\sin x)$

$\lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\log x} = \lim_{x \to +0} \frac{\log x + \log (\frac{\sin x}{x})}{\log x} = \lim_{x \to +0} \left( 1 + \frac{\log (\frac{\sin x}{x})}{\log x} \right)$

ここで、$\lim_{x \to +0} \log x = -\infty$ であり、$\lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} = 1$ なので、$\lim_{x \to +0} \log (\frac{\sin x}{x}) = 0$ です。

したがって、$\lim_{x \to +0} \frac{\log (\frac{\sin x}{x})}{\log x} = 0$ です。

$\lim_{x \to +0} \log y = 1$

$\lim_{x \to +0} y = e^1 = e$

(4)

$y = x^{\sin x}$ と置きます。

$\log y = \sin x \log x$

$\lim_{x \to +0} \sin x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\sin x}{x} \lim_{x \to +0} x \log x = 1 \cdot 0 = 0$

なぜなら、$\lim_{x \to +0} x \log x = 0$ です。

$\lim_{x \to +0} \log y = 0$

$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) $e^{-\frac{1}{6}}$

(2) $e^{\frac{1}{2}}$

(3) $e$

(4) $1$