与えられた極限を計算する問題です。 $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n-1}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}} $$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

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\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n-1}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}}

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2. 解き方の手順

まず、分子と分母を有理化します。

分子の有理化：

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\sqrt{n} - \sqrt{n-1} = \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n-1})(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} = \frac{n - (n-1)}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}}

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分母の有理化：

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\sqrt{n+2} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}

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したがって、与えられた極限は、

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\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n-1}}{\sqrt{n+2} - \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n-1}}}{\frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}{2(\sqrt{n} + \sqrt{n-1})}

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分子と分母を $\sqrt{n}$ で割ります。

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\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1}{2(1 + \sqrt{1-\frac{1}{n}})}

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$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$ と $\frac{1}{n} \to 0$ であるから、

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\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n}} + 1}{2(1 + \sqrt{1-\frac{1}{n}})} = \frac{\sqrt{1+0} + 1}{2(1 + \sqrt{1-0})} = \frac{1+1}{2(1+1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$