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次の等式を示す問題です。 (1) $\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}$ (2) $\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2}$

解析学逆三角関数証明三角関数
2025/5/22

1. 問題の内容

次の等式を示す問題です。
(1) sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}
(2) tan⁡−1x+cot⁡−1x=π2\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2}

2. 解き方の手順

(1) sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} の証明
θ=sin⁡−1x\theta = \sin^{-1}x とおくと、x=sin⁡θx = \sin\theta となり、−π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2} です。
ここで、x=sin⁡θ=cos⁡(π2−θ)x = \sin\theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) となります。
したがって、cos⁡−1x=π2−θ\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \theta となります。
θ=sin⁡−1x\theta = \sin^{-1}x を代入すると、cos⁡−1x=π2−sin⁡−1x\cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}x となります。
これを変形すると、sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} となり、等式が証明されました。
(2) tan⁡−1x+cot⁡−1x=π2\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} の証明
θ=tan⁡−1x\theta = \tan^{-1}x とおくと、x=tan⁡θx = \tan\theta となり、−π2<θ<π2-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} です。
ここで、x=tan⁡θ=cot⁡(π2−θ)x = \tan\theta = \cot(\frac{\pi}{2} - \theta) となります。
したがって、cot⁡−1x=π2−θ\cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \theta となります。
θ=tan⁡−1x\theta = \tan^{-1}x を代入すると、cot⁡−1x=π2−tan⁡−1x\cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}x となります。
これを変形すると、tan⁡−1x+cot⁡−1x=π2\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2} となり、等式が証明されました。

3. 最終的な答え

(1) sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2}
(2) tan⁡−1x+cot⁡−1x=π2\tan^{-1}x + \cot^{-1}x = \frac{\pi}{2}

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