与えられた関数のグラフを描く問題です。ここでは、(1) の関数 $y = \frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})$ について考えます。

1. 問題の内容

与えられた関数のグラフを描く問題です。ここでは、(1) の関数 $y = \frac{1}{2} \sin^{-1} (\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})$ について考えます。

2. 解き方の手順

まず、逆正弦関数 $\sin^{-1}(x)$ の定義域と値域を確認します。

定義域は $-1 \le x \le 1$ で、値域は $-\frac{\pi}{2} \le \sin^{-1}(x) \le \frac{\pi}{2}$ です。

次に、与えられた関数 $\frac{1}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4})$ の定義域を求めます。

$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}$ が $-1 \le \frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} \le 1$ を満たす必要があります。

この不等式を解くと、

$-1 + \frac{\pi}{4} \le \frac{x}{3} \le 1 + \frac{\pi}{4}$

$-3 + \frac{3\pi}{4} \le x \le 3 + \frac{3\pi}{4}$

となります。

次に、$\sin^{-1}$ の引数が $-1$ と $1$ になるときの $x$ の値を求めます。

$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = -1$ のとき、$\frac{x}{3} = -1 + \frac{\pi}{4}$ より $x = -3 + \frac{3\pi}{4}$

このとき $y = \frac{1}{2} \sin^{-1}(-1) = \frac{1}{2} (-\frac{\pi}{2}) = -\frac{\pi}{4}$

$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = 1$ のとき、$\frac{x}{3} = 1 + \frac{\pi}{4}$ より $x = 3 + \frac{3\pi}{4}$

このとき $y = \frac{1}{2} \sin^{-1}(1) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{4}$

$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = 0$ のとき、$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4}$ より $x = \frac{3\pi}{4}$

このとき $y = \frac{1}{2} \sin^{-1}(0) = 0$

以上の情報から、$x$ が $-3 + \frac{3\pi}{4}$ から $3 + \frac{3\pi}{4}$ まで変化するとき、$y$ は $-\frac{\pi}{4}$ から $\frac{\pi}{4}$ まで単調増加することがわかります。特に，$x = \frac{3\pi}{4}$ のとき、$y = 0$ となります。

3. 最終的な答え

グラフを描くための主要な点は以下の通りです。

- 定義域: $-3 + \frac{3\pi}{4} \le x \le 3 + \frac{3\pi}{4}$

- $x = -3 + \frac{3\pi}{4}$ のとき、$y = -\frac{\pi}{4}$

- $x = \frac{3\pi}{4}$ のとき、$y = 0$

- $x = 3 + \frac{3\pi}{4}$ のとき、$y = \frac{\pi}{4}$

これらの点に基づいてグラフを描くことができます。

グラフは、$\sin^{-1}$関数の形状を保ちつつ、振幅が $\frac{1}{2}$ 倍され、水平方向に $\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}$ のように変換された形になります。

グラフを描画する具体的なツールを使用する必要があるため、数値的な答えは上記に留めます。