次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right)$

2. 解き方の手順

$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$という恒等式を利用します。これにより、問題の式は以下のように変形できます。

$\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right) = \lim_{x \to \infty} x \arctan \frac{1}{x}$

ここで、$t = \frac{1}{x}$と置換すると、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

$\lim_{x \to \infty} x \arctan \frac{1}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t}$

次に、$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t}$ の極限を求めます。これは不定形 $\frac{0}{0}$ の形なので、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dt} \arctan t = \frac{1}{1 + t^2}$

$\frac{d}{dt} t = 1$

したがって、ロピタルの定理により

$\lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1 + t^2}}{1} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1 + t^2} = \frac{1}{1 + 0^2} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right) = 1$