次の定積分を計算します。 $\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx$

2. 解き方の手順

部分積分を使って計算します。

$u = \log(x^2 + 1)$, $dv = dx$ とすると、

$du = \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx = \left[ x \log(x^2 + 1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx$

$= \left[ x \log(x^2 + 1) \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx$

$= (1 \cdot \log(1^2 + 1) - 0 \cdot \log(0^2 + 1)) - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx$

$= \log(2) - \int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx$

ここで、被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} = 2 - \frac{2}{x^2 + 1}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{2x^2}{x^2 + 1} \, dx = \int_{0}^{1} \left( 2 - \frac{2}{x^2 + 1} \right) \, dx$

$= \left[ 2x - 2 \arctan(x) \right]_{0}^{1}$

$= (2 \cdot 1 - 2 \arctan(1)) - (2 \cdot 0 - 2 \arctan(0))$

$= 2 - 2 \cdot \frac{\pi}{4} - 0 = 2 - \frac{\pi}{2}$

よって、

$\int_{0}^{1} \log(x^2 + 1) \, dx = \log(2) - \left( 2 - \frac{\pi}{2} \right) = \log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\log(2) - 2 + \frac{\pi}{2}$