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与えられた $\theta$ の範囲において、以下の式のとりうる値の範囲を求める。 (1) $\sin\theta + 2$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) (2) $\cos\theta - 1$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$) (3) $2\sin\theta$ ($0^\circ \le \theta \le 180^\circ$) (4) $2\cos\theta + 1$ ($90^\circ \le \theta \le 180^\circ$)

解析学三角関数値の範囲不等式
2025/5/22

1. 問題の内容

与えられた θ\theta の範囲において、以下の式のとりうる値の範囲を求める。
(1) sin⁡θ+2\sin\theta + 2 (0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ)
(2) cos⁡θ−1\cos\theta - 1 (0∘≤θ≤90∘0^\circ \le \theta \le 90^\circ)
(3) 2sin⁡θ2\sin\theta (0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ)
(4) 2cos⁡θ+12\cos\theta + 1 (90∘≤θ≤180∘90^\circ \le \theta \le 180^\circ)

2. 解き方の手順

(1) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、0≤sin⁡θ≤10 \le \sin\theta \le 1 である。
したがって、
0+2≤sin⁡θ+2≤1+20 + 2 \le \sin\theta + 2 \le 1 + 2
2≤sin⁡θ+2≤32 \le \sin\theta + 2 \le 3
(2) 0∘≤θ≤90∘0^\circ \le \theta \le 90^\circ のとき、0≤cos⁡θ≤10 \le \cos\theta \le 1 である。
したがって、
0−1≤cos⁡θ−1≤1−10 - 1 \le \cos\theta - 1 \le 1 - 1
−1≤cos⁡θ−1≤0-1 \le \cos\theta - 1 \le 0
(3) 0∘≤θ≤180∘0^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、0≤sin⁡θ≤10 \le \sin\theta \le 1 である。
したがって、
2×0≤2sin⁡θ≤2×12 \times 0 \le 2\sin\theta \le 2 \times 1
0≤2sin⁡θ≤20 \le 2\sin\theta \le 2
(4) 90∘≤θ≤180∘90^\circ \le \theta \le 180^\circ のとき、−1≤cos⁡θ≤0-1 \le \cos\theta \le 0 である。
したがって、
2×(−1)+1≤2cos⁡θ+1≤2×0+12 \times (-1) + 1 \le 2\cos\theta + 1 \le 2 \times 0 + 1
−2+1≤2cos⁡θ+1≤0+1-2 + 1 \le 2\cos\theta + 1 \le 0 + 1
−1≤2cos⁡θ+1≤1-1 \le 2\cos\theta + 1 \le 1

3. 最終的な答え

(1) 2≤sin⁡θ+2≤32 \le \sin\theta + 2 \le 3
(2) −1≤cos⁡θ−1≤0-1 \le \cos\theta - 1 \le 0
(3) 0≤2sin⁡θ≤20 \le 2\sin\theta \le 2
(4) −1≤2cos⁡θ+1≤1-1 \le 2\cos\theta + 1 \le 1

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