## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は、ド・ロピタルの定理を用いて次の極限を求めることです。

8) $\lim_{x \to 0+} (\sin x)^{1/\log x}$

9) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x^2}{x^2}$

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2. 解き方の手順

### 8) $\lim_{x \to 0+} (\sin x)^{1/\log x}$

まず、極限を$y$とおきます。

$y = \lim_{x \to 0+} (\sin x)^{1/\log x}$

両辺の自然対数をとります。

$\log y = \lim_{x \to 0+} \frac{\log (\sin x)}{\log x}$

$x \to 0+$のとき、$\log (\sin x) \to -\infty$、$\log x \to -\infty$なので、$\frac{-\infty}{-\infty}$の不定形となり、ド・ロピタルの定理が使えます。

$\log y = \lim_{x \to 0+} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0+} \frac{x \cos x}{\sin x}$

$x \to 0+$のとき、$x \cos x \to 0$、$\sin x \to 0$なので、$\frac{0}{0}$の不定形となり、再びド・ロピタルの定理が使えます。

$\log y = \lim_{x \to 0+} \frac{\cos x - x \sin x}{\cos x} = \frac{\cos 0 - 0 \cdot \sin 0}{\cos 0} = \frac{1 - 0}{1} = 1$

したがって、$\log y = 1$となり、$y = e^1 = e$です。

### 9) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x^2}{x^2}$

$x \to 0$のとき、$\tan^{-1} x^2 \to 0$、$x^2 \to 0$なので、$\frac{0}{0}$の不定形となり、ド・ロピタルの定理が使えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x^2}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+(x^2)^2} \cdot 2x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{2x}{1+x^4}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x^4}$

$x \to 0$のとき、$x^4 \to 0$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x^4} = \frac{1}{1+0} = 1$

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3. 最終的な答え

8) $\lim_{x \to 0+} (\sin x)^{1/\log x} = e$

9) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1} x^2}{x^2} = 1$