マクローリンの定理を用いて、与えられた式における空欄を埋める問題です。具体的には、(1) $\cos x$ のマクローリン展開とその剰余項、(2) $f(x) = f(0) + xf'(cx)$ において、$x \to 0$ のときの $c$ の極限、(3) $f(x) = f(0) + xf'(cx)$ において、$f''(0) = 0$ かつ $f'''(0) \neq 0$ の場合に $x \to 0$ のときの $c$ の極限を求めます。

1. 問題の内容

マクローリンの定理を用いて、与えられた式における空欄を埋める問題です。具体的には、(1) $\cos x$ のマクローリン展開とその剰余項、(2) $f(x) = f(0) + xf'(cx)$ において、$x \to 0$ のときの $c$ の極限、(3) $f(x) = f(0) + xf'(cx)$ において、$f''(0) = 0$ かつ $f'''(0) \neq 0$ の場合に $x \to 0$ のときの $c$ の極限を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos x$ のマクローリン展開

$\cos x$ のマクローリン展開は以下のようになります。

$\cos x = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k} + R_{2n+2}$

ここで、剰余項 $R_{2n+2}$ はラグランジュの剰余項として

$R_{2n+2} = \frac{f^{(2n+2)}(\theta x)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$

$\cos x$ の $(2n+2)$ 回微分は $\pm \cos x$ または $\pm \sin x$ であり、絶対値は1以下なので、

$R_{2n+2} = \frac{(-1)^{n+1} \cos(\theta x)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$ (または $\frac{(-1)^{n+1} \sin(\theta x)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$)

となります。

(2) $f(x) = f(0) + xf'(cx)$ において、$f''(0) \neq 0$ の場合

$f'(cx)$ をマクローリン展開すると、

$f'(cx) = f'(0) + f''(0)(cx) + O(x^2)$

$f(x) = f(0) + x[f'(0) + f''(0)(cx) + O(x^2)]$

$f(x) = f(0) + xf'(0) + x^2 f''(0) c + O(x^3)$

ここで、$x \to 0$ のとき、$x^2$ の項が重要になります。

$f(x) = f(0) + xf'(cx)$ をテイラー展開の式 $f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{1}{2}x^2 f''(0) + \cdots$と比較すると、$xf'(cx)=xf'(0) + \frac{1}{2}x^2 f''(0)$ となり、

$f'(cx) = f'(0) + \frac{1}{2}x f''(0)$.

$x \to 0$ のとき、$f'(cx) \to f'(0)$ となるから、$cx \to 0$ とは限らない。

平均値の定理より，$f(x) = f(0) + xf'(cx)$, $0 < c < 1$

$x \to 0$ で $c \to 1/2$

(3) $f(x) = f(0) + xf'(cx)$ において、$f''(0) = 0$ かつ $f'''(0) \neq 0$ の場合

$f'(cx) = f'(0) + f''(0)(cx) + \frac{1}{2}f'''(0)(cx)^2 + O(x^3)$

$f'(cx) = f'(0) + \frac{1}{2}f'''(0)c^2x^2 + O(x^3)$

$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{1}{2}f'''(0)c^2x^3 + O(x^4)$

テイラー展開より、$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2}f''(0) + \frac{x^3}{6}f'''(0) + \dots = f(0) + xf'(0) + \frac{x^3}{6}f'''(0) + \dots$

よって $\frac{1}{2}c^2f'''(0)x^3 = \frac{1}{6}f'''(0)x^3$ なので

$c^2 = \frac{1}{3}$

$c = \frac{1}{\sqrt{3}}$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}$

(b) $\frac{(-1)^{n+1} \cos(\theta x)}{(2n+2)!}x^{2n+2}$

(c) $\frac{1}{2}$

(d) $\frac{1}{\sqrt{3}}$