与えられた2つの関数について、マクローリン展開を4次まで求める問題です。 (1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - a^2}$ （ただし $|x| < |a|$） (2) $g(x) = \arctan x$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数について、マクローリン展開を4次まで求める問題です。

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - a^2}$ （ただし $|x| < |a|$）

(2) $g(x) = \arctan x$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2 - a^2}$のマクローリン展開

$f(x)$を部分分数分解します。

$f(x) = \frac{1}{x^2 - a^2} = \frac{1}{(x-a)(x+a)} = \frac{1}{2a} (\frac{1}{x-a} - \frac{1}{x+a}) = \frac{1}{2a} (-\frac{1}{a-x} - \frac{1}{a+x})$

ここで、$|x|<|a|$の条件から、$\frac{x}{a}$のべき級数展開を利用できます。

$\frac{1}{a-x} = \frac{1}{a(1-\frac{x}{a})} = \frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{x}{a})^n = \frac{1}{a} (1 + \frac{x}{a} + (\frac{x}{a})^2 + (\frac{x}{a})^3 + (\frac{x}{a})^4 + ...)$

$\frac{1}{a+x} = \frac{1}{a(1+\frac{x}{a})} = \frac{1}{a} \sum_{n=0}^{\infty} (-\frac{x}{a})^n = \frac{1}{a} (1 - \frac{x}{a} + (\frac{x}{a})^2 - (\frac{x}{a})^3 + (\frac{x}{a})^4 + ...)$

したがって、

$f(x) = \frac{1}{2a} (-\frac{1}{a} (1 + \frac{x}{a} + (\frac{x}{a})^2 + (\frac{x}{a})^3 + (\frac{x}{a})^4 + ...) - \frac{1}{a} (1 - \frac{x}{a} + (\frac{x}{a})^2 - (\frac{x}{a})^3 + (\frac{x}{a})^4 + ...))$

$= \frac{1}{2a^2} (- (1 + \frac{x}{a} + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^3}{a^3} + \frac{x^4}{a^4} + ...) - (1 - \frac{x}{a} + \frac{x^2}{a^2} - \frac{x^3}{a^3} + \frac{x^4}{a^4} + ...))$

$= \frac{1}{2a^2} (-2 - 2 \frac{x^2}{a^2} - 2 \frac{x^4}{a^4} - ...) = - \frac{1}{a^2} (1 + \frac{x^2}{a^2} + \frac{x^4}{a^4} + ...)$

4次までのマクローリン展開は、

$f(x) \approx - \frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6}$

(2) $g(x) = \arctan x$のマクローリン展開

$\arctan x$の微分を求めます。

$g'(x) = \frac{1}{1 + x^2}$

$g'(x) = \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...$

$g(x) = \int g'(x) dx = \int (1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...) dx = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ... + C$

$g(0) = \arctan 0 = 0$より、$C = 0$

$g(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + ...$

4次までのマクローリン展開は、

$g(x) \approx x - \frac{x^3}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) \approx - \frac{1}{a^2} - \frac{x^2}{a^4} - \frac{x^4}{a^6}$

(2) $g(x) \approx x - \frac{x^3}{3}$