与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\sqrt{x})$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\sqrt{x})$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$y = \tan^{-1}(\sqrt{x})$ の導関数を求めるためには、合成関数の微分（連鎖律）を利用します。

まず、$u = \sqrt{x}$ とおくと、$y = \tan^{-1}(u)$ となります。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1 + u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$u = \sqrt{x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$