わかりました。画像の(5), (7), (9)の問題をそれぞれ解きます。

わかりました。画像の(5), (7), (9)の問題をそれぞれ解きます。

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1. 問題の内容**

与えられた関数 $y$ を $x$ で微分する問題です。

(5) $y = \sin^{-1}(x^2-1)$

(7) $y = \frac{1}{(\cos^{-1}x+4)^2}$

(9) $y = \tan^{-1} e^x$

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2. 解き方の手順**

(5) $y = \sin^{-1}(x^2-1)$ の微分

$\sin^{-1}u$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$ です。

ここで、$u = x^2 - 1$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2x$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2-1)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-(x^4 - 2x^2 + 1)}} = \frac{2x}{\sqrt{-x^4 + 2x^2}} = \frac{2x}{\sqrt{x^2(2-x^2)}} = \frac{2x}{|x|\sqrt{2-x^2}}$

$x>0$のとき、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{2-x^2}}$

$x<0$のとき、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{2-x^2}}$

(7) $y = \frac{1}{(\cos^{-1}x+4)^2}$ の微分

$y = (\cos^{-1}x+4)^{-2}$ と書き換えることができます。

$u = \cos^{-1}x+4$ とおくと、$y=u^{-2}$、 $\frac{dy}{du} = -2u^{-3}$

$\frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\frac{du}{dx} = -2(\cos^{-1}x+4)^{-3}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \frac{2}{(\cos^{-1}x+4)^3\sqrt{1-x^2}}$

(9) $y = \tan^{-1} e^x$ の微分

$\tan^{-1}u$ の微分は $\frac{1}{1+u^2}\frac{du}{dx}$ です。

ここで、$u = e^x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = e^x$ となります。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(e^x)^2} \cdot e^x = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$

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3. 最終的な答え**

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{|x|\sqrt{2-x^2}}$

(7) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(\cos^{-1}x+4)^3\sqrt{1-x^2}}$

(9) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{1+e^{2x}}$